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​来源​: 自定义题目 ​题目名称​: 方程求根

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任务总览表

任务名称	时间限制	内存限制	分数
方程求根	1 sec	256 MB	10 points

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题目描述

求方程 f(x) = 2^x + 3^x - 4^x = 0 在 [1, 2] 区间内的根。

​提示​： 2x2^x 可以表示为 exp(x * ln(2)) 的形式。

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输入格式

输入为区间 [1, 2] 的区间值。

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输出格式

输出方程 f(x) = 0 的根，x 的值精确到小数点后 ​10 位​。

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样例输入

1 2

样例输出

1.5071105957

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提示

• 题目要求解方程 f(x) = 0 在区间 [1, 2] 内的根，并且给定提示可使用 exp(x * ln(2)) 来计算 ​2^x​。
• 结果需要精确到小数点后 ​10 位​。

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题目分析

目标

• 在给定区间 [1, 2] 内，通过数值方法求出方程的根，要求精度达到 ​10 位​。

思路

• 由于 f(x) = 2^x + 3^x - 4^x 是一个连续函数，可以使用 ​二分法​（或其他数值方法，如牛顿法）来求解。
• 二分法 是一种常见的求解方程根的数值方法，通过不断缩小区间来逼近根。

解法

1. 根据输入的区间 ​**[1, 2]**​，进行二分法迭代。
2. 每次计算中点，并判断函数值的符号。
3. 不断缩小区间，直到精度满足要求（即精度小于 10−1010^{-10}）。

优化

• 确保函数的计算精度足够高，以确保最终输出结果的精度。

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时间复杂度分析

• 二分法 的时间复杂度是 ​O(log(ε))​，其中 ε 是精度要求。因此，在本题中，精度要求为小数点后 ​10 位​，所以时间复杂度大约为 ​**O(log(10^(-10))) = O(34)**​。

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结论

通过二分法求解方程的根，并确保结果精确到小数点后 ​10 位​，可以高效地得到正确答案。