#2387. 麦森数
麦森数
版权信息
来源: 自定义题目 题目名称: 麦森数
任务总览表
任务名称 | 时间限制 | 内存限制 | 分数 |
---|---|---|---|
麦森数 | 2 sec | 1024 MB | 10 points |
题目描述
形如 2^P - 1 的素数称为 麦森数,此时 P 一定也是个素数。但反过来不一定,即如果 P 是个素数,2^P - 1 不一定也是素数。
到 1998 年底,人们已找到了 37 个麦森数。最大的一个是 P = 3021377,它有 909526 位。麦森数有许多重要应用,它与完全数密切相关。
任务:从文件中输入 P(1000 < P < 3100000
),计算 2^P - 1 的位数和最后 500 位数字(用十进制高精度数表示)。
输入格式
文件中只包含一个整数 P(1000 < P < 3100000
)。
输出格式
- 第一行:十进制高精度数 2^P - 1 的位数;
- 第 2-11 行:十进制高精度数 2^P - 1 的最后 500 位数字(每行输出 50 位,共输出 10 行,不足 500 位时高位补 0)。
不必验证 2^P - 1 与 P 是否为素数。
样例输入
1279
样例输出
386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087
提示
- 使用 高精度数 来表示 2^P - 1,由于该数的位数非常大,标准的整型数据类型无法表示。
- 输出时,必须按照指定的格式输出最后 500 位数字。
题目分析
目标
- 给定一个 P 值,计算 2^P - 1 的位数,并输出最后 500 位数字。
思路
- 高精度计算:由于 2^P - 1 的值非常大,无法使用普通的整数类型表示,需要使用 大数库 或 自定义高精度计算方法 来处理。
- 位数计算:可以通过 log10 来计算数字的位数。
- 最后 500 位:通过计算 2^P 的值,然后提取其最后 500 位数字。
解法
- 高精度计算:使用 Python 的
int
类型(Python 自带支持任意精度整数),或使用其他编程语言中的大数库。 - 计算位数:通过 log10(2^P - 1) 计算位数。
- 获取最后 500 位:使用字符串处理的方法,提取最后 500 位数字并格式化输出。
时间复杂度分析
- 计算 2^P 的时间复杂度为 **O(P)**,这主要是由于指数运算和大数计算的复杂度。
- 提取最后 500 位 和 计算位数 的操作复杂度为 **O(log(2^P)),即 O(P)**。
因此,整体的时间复杂度是 **O(P)**,这对于 P ≤ 3100000 是可接受的。
结论
通过高精度计算和字符串处理,我们能够在给定时间内有效计算 2^P - 1 的位数和最后 500 位数字。