#2387. 麦森数

麦森数


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来源​: 自定义题目 ​题目名称​: 麦森数


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任务名称 时间限制 内存限制 分数
麦森数 2 sec 1024 MB 10 points

题目描述

形如 2^P - 1 的素数称为 ​麦森数​,此时 P 一定也是个素数。但反过来不一定,即如果 P 是个素数,2^P - 1 不一定也是素数。

到 1998 年底,人们已找到了 37 个麦森数。最大的一个是 ​P = 3021377​,它有 909526 位。麦森数有许多重要应用,它与完全数密切相关。

任务:从文件中输入 ​P​(1000 < P < 3100000),计算 2^P - 1 的位数和最后 500 位数字(用十进制高精度数表示)。


输入格式

文件中只包含一个整数 ​P​(1000 < P < 3100000)。


输出格式

  • 第一行:十进制高精度数 2^P - 1 的位数;
  • 第 2-11 行:十进制高精度数 2^P - 1 的最后 500 位数字(每行输出 50 位,共输出 10 行,不足 500 位时高位补 0)。

不必验证 2^P - 1P 是否为素数。


样例输入

1279

样例输出

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

提示

  • 使用 高精度数 来表示 ​2^P - 1​,由于该数的位数非常大,标准的整型数据类型无法表示。
  • 输出时,必须按照指定的格式输出最后 500 位数字。

题目分析

目标

  • 给定一个 P 值,计算 2^P - 1 的位数,并输出最后 500 位数字。

思路

  • 高精度计算​:由于 2^P - 1 的值非常大,无法使用普通的整数类型表示,需要使用 大数库自定义高精度计算方法 来处理。
  • 位数计算​:可以通过 log10 来计算数字的位数。
  • 最后 500 位​:通过计算 2^P 的值,然后提取其最后 500 位数字。

解法

  1. 高精度计算​:使用 Python 的 int 类型(Python 自带支持任意精度整数),或使用其他编程语言中的大数库。
  2. 计算位数​:通过 log10(2^P - 1) 计算位数。
  3. 获取最后 500 位​:使用字符串处理的方法,提取最后 500 位数字并格式化输出。

时间复杂度分析

  • 计算 2^P 的时间复杂度为 ​**O(P)**​,这主要是由于指数运算和大数计算的复杂度。
  • 提取最后 500 位计算位数 的操作复杂度为 ​**O(log(2^P))​,即 ​O(P)**​。

因此,整体的时间复杂度是 ​**O(P)**​,这对于 P ≤ 3100000 是可接受的。


结论

通过高精度计算和字符串处理,我们能够在给定时间内有效计算 2^P - 1 的位数和最后 500 位数字。