#8824. CCF201609-4 交通规划(100分)

CCF201609-4 交通规划(100分)

问题描述


G国国王来中国参观后,
被中国的高速铁路深深的震撼,
决定为自己的国家也建设一个高速铁路系统。   
建设高速铁路投入非常大,为了节约建设成本,G国国王决定不新建铁路,
而是将已有的铁路改造成高速铁路。
现在,请你为G国国王提供一个方案,
将现有的一部分铁路改造成高速铁路,使得任何两个城市间都可以通过高速铁路到达,
而且从所有城市乘坐高速铁路到首都的最短路程和原来一样长。请你告诉G国国王在这些条件下最少要改造多长的铁路。

输入格式

输入的第一行包含两个整数n, m,
分别表示G国城市的数量和城市间铁路的数量。
所有的城市由1到n编号,首都为1号。   
接下来m行,每行三个整数a, b, c,表示城市a和城市b之间有一条长度为c的双向铁路。
这条铁路不会经过a和b以外的城市。

输出格式

输出一行,表示在满足条件的情况下最少要改造的铁路长度。

样例输入


4 5
1 2 4
1 3 5
2 3 2
2 4 3
3 4 2

样例输出

11

评测用例规模与约定


对于20%的评测用例,1 ≤ n ≤ 10,1 ≤ m ≤ 50;   
对于50%的评测用例,1 ≤ n ≤ 100,1 ≤ m ≤ 5000;   
对于80%的评测用例,1 ≤ n ≤ 1000,1 ≤ m ≤ 50000;   
对于100%的评测用例,1 ≤ n ≤ 10000,1 ≤ m ≤ 100000,1 ≤ a, b ≤ n,1 ≤ c ≤ 1000。输入保证每个城市都可以通过铁路达到首都。

问题链接:CCF201609试题。

问题描述:参见上文。

问题分析:

这是一个最优化的问题,
也是一个单源最短路径问题,所有要用Dijkstra算法。
题目要求在“所有城市乘坐高速铁路到首都的最短路程和原来一样长”的前提下,
计算出“最少要改造多少铁路”?

程序说明:

图的表示主要有三种形式,一是邻接表,二是邻接矩阵,三是边列表。
邻接矩阵对于结点多和边少的情况都不理想。程序中用邻接表存储图,即g[],
是一种动态的存储。数组dist[]中存储单源(首都,结点1)到各个结点(城市)的最短距离。
优先队列q按照边的权值从小到大排队,便于计算最短路径。

对于n个结点的城市,
要连通起来,最少有n-1条道路就够了。

数组cost[i]用于存储要到达结点i,
并且满足单源最短路径的条件,需要改造的铁路的长度。
这是使用Dijkstra算法解决本问题需要增加的。
程序中的72行就是增加的逻辑。

另外一个问题,
从单源出发到达某个结点,最短路径有两条以上,并且路径长度相等时,
需要选一个代价小的。
例如,测试实例中,结点1到4有两条路径,1-2-4和1-3-4,其距离都是7,边1-2和1-3是必选的,边2-4和3-4是可选的,由于边2-4的权为3,而边3-4的权为2,所以为了到达结点4选择小的权2。
程序中,这个逻辑体现在75行。

Limitation

1s, 1024KiB for each test case.