#CSPJ2021B. 插入排序
插入排序
题目描述
插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生,今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。
假设比较两个元素的时间为 ,则插入排序可以以 的时间复杂度完成长度为 的数组的排序。不妨假设这 n 个数字分别存储在 之中,则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式:
这下面是 C/C++ 的示范代码
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = i; j>=2; j‐‐)
if ( a[j] < a[j‐1] ){
int t = a[j‐1];
a[j‐1] = a[j];
a[j] = t;
}
这下面是 Pascal 的示范代码
for i:=1 to n do
for j:=i downto 2 do
if a[j]<a[j‐1] then
begin
t:=a[i];
a[i]:=a[j];
a[j]:=t;
end;
为了帮助小 Z 更好的理解插入排序,小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业:
H 老师给了一个长度为 的数组 ,数组下标从 开始,并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 上的 次操作,操作共两种,参数分别如下:
: 这是第一种操作,会将 的第 个元素,也就是 的值,修改为 。保证 , 。注意这种操作会改变数组的元素,修改得到的数组会被保留,也会影响后续的操作。
: 这是第二种操作,假设 H 老师按照上面的伪代码对 数组进行排序,你需要告诉 H 老师原来 的第 个元素,也就是 ,在排序后的新数组所处的位置。保证 。注意这种操作不会改变数组的元素,排序后的数组不会被保留,也不会影响后续的操作。
H 老师不喜欢过多的修改,所以他保证类型 的操作次数不超过 。
小 Z 没有学过计算机竞赛,因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。
输入格式
从文件 sort.in
中读入数据。
输入的第一行包含两个正整数 ,表示数组长度和操作次数。保证 , 。
输入的第二行包含 个空格分隔的非负整数,其中第 个非负整数表示 。保证 。
接下来 行,每行 个正整数,表示一次操作,操作格式见题目描述。
输出格式
输出到文件 sort.out
中。
对于每一次类型为 的询问,输出一行一个正整数表示答案。
3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2
1
1
2
样例 1 说明
在修改操作之前,假设 H 老师进行了一次插入排序,则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 。
在修改操作之前,假设 H 老师进行了一次插入排序,则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 。
注意虽然此时 ,但是我们不能将其视为相同的元素。
样例 2
该测试点数据范围同测试点 。
样例 3
该测试点数据范围同测试点 。
样例 4
该测试点数据范围同测试点 。
数据范围与提示
对于所有测试数据,满足 , , , 。
对于所有测试数据,保证在所有 次操作中,至多有 次操作属于类型一。
各测试点的附加限制及分值如下表所示。
测试点 | 特殊性质 | ||
---|---|---|---|
无 | |||
保证所有输入的 互不相同 | |||
无 | |||
保证所有输入的 互不相同 | |||
无 |
【分析】
本题目给的插入排序算法是一个稳定的排序算法,给出了Q次操作,你需要在动态修改单个元素的同时进行稳定排序,并进行排名的查询。
由于修改操作(操作1)的次数最多为5000次,而总操作次数最多是2×10^5^次,因此在每次修改后进行排序,比每次查询时进行排序的次数更少。每次修改操作完成后,可以使用对下标进行排序的算法,下标对应的元素相等时,按照下标从小到大排序,这样就可以实现稳定排序了。如果每次修改后都使用时间复杂度为O(nlogn)的sort()方法排序,总的时间复杂度就是O(5000nlogn),能稳过前13个测试点。
如果要拿到满分,就需要更好的排序算法了。由题意容易发现,每次修改一个数后,整个序列除了这个数都是有序的,因此不需要执行整体的排序,只需要把这个数放到合适的位置就好了。你可以使用插入排序的思想,把这个数插入合适的位置,这样只需要O(n)的时间复杂度就能把序列再次变成有序的,总的时间复杂度为O(5000n)。