题目描述

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 $O(1)$，则插入排序可以以 $O(n^2)$ 的时间复杂度完成长度为 $n$ 的数组的排序。不妨假设这 n 个数字分别存储在 $a1, a2,..., a_n$ 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：

这下面是 C/C++ 的示范代码

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i; j>=2; j‐‐)
        if ( a[j] < a[j‐1] ){
            int t = a[j‐1];
            a[j‐1] = a[j];
            a[j] = t;
        }

这下面是 Pascal 的示范代码

for i:=1 to n do
    for j:=i downto 2 do
        if a[j]<a[j‐1] then
        begin
            t:=a[i];
            a[i]:=a[j];
            a[j]:=t;
        end;

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：

H 老师给了一个长度为 $n$ 的数组 $a$，数组下标从 $1$ 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 $a$ 上的 $Q$ 次操作，操作共两种，参数分别如下：

$1 x v$ : 这是第一种操作，会将 $a$ 的第 $x$ 个元素，也就是 $a_x$ 的值，修改为 $v$。保证 $1 \le x \le n$, $1 \le v \le 10^9$。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。

$2 x$ : 这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对 $a$ 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 $a$ 的第 $x$ 个元素，也就是 $a_x$，在排序后的新数组所处的位置。保证 $1 \le x \le n$。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 $1$ 的操作次数不超过 $5000$。

小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入格式

从文件 sort.in 中读入数据。

输入的第一行包含两个正整数 $n, Q$，表示数组长度和操作次数。保证 $1 \le n \le 8, 000$, $1 \le Q \le 2 \times 10^5$。

输入的第二行包含 $n$ 个空格分隔的非负整数，其中第 $i$ 个非负整数表示 $a_i$。保证 $1 \le a_i \le 10^9$。

接下来 $Q$ 行，每行 $2 ~ 3$ 个正整数，表示一次操作，操作格式见题目描述。

输出格式

输出到文件 sort.out 中。 对于每一次类型为 $2$ 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2

1
1
2

样例 1 说明

在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 2, 1$。

在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 1, 2$。

注意虽然此时 $a_2 = a_3$，但是我们不能将其视为相同的元素。

样例 2

见选手目录下的 sort2.in 与 sort2.ans。

该测试点数据范围同测试点 $1 ~ 2$。

样例 3

见选手目录下的 sort3.in 与 sort3.ans。

该测试点数据范围同测试点 $3 ~ 7$。

样例 4

见选手目录下的 sort4.in 与 sort4.ans。

该测试点数据范围同测试点 $12 ~ 14$。

数据范围与提示

对于所有测试数据，满足 $1 \le n \le 8, 000$, $1 \le Q \le 2 \times 10^5$, $1 \le x \le n$, $1 \le v, a_i \le 10^9$。

对于所有测试数据，保证在所有 $Q$ 次操作中，至多有 $5000$ 次操作属于类型一。

各测试点的附加限制及分值如下表所示。

测试点	$n$	$Q$	特殊性质
$1,2,3,4$	$\le 10$		无
$5,6,7,8,9$	$\le 300$
$10,11,12,13$	$\le 1, 500$
$14,15,16$	$\le 8, 000$	$\le 8, 000$	保证所有输入的 $a_i, v$ 互不相同
$17,18,19$			无
$20,21,22$		$\le 2 \times 10^5$	保证所有输入的 $a_i, v$ 互不相同
$23,24,25$			无

【分析】

本题目给的插入排序算法是一个稳定的排序算法，给出了Q次操作，你需要在动态修改单个元素的同时进行稳定排序，并进行排名的查询。

由于修改操作（操作1）的次数最多为5000次，而总操作次数最多是2×10^5^次，因此在每次修改后进行排序，比每次查询时进行排序的次数更少。每次修改操作完成后，可以使用对下标进行排序的算法，下标对应的元素相等时，按照下标从小到大排序，这样就可以实现稳定排序了。如果每次修改后都使用时间复杂度为O(nlogn)的sort()方法排序，总的时间复杂度就是O(5000nlogn)，能稳过前13个测试点。

如果要拿到满分，就需要更好的排序算法了。由题意容易发现，每次修改一个数后，整个序列除了这个数都是有序的，因此不需要执行整体的排序，只需要把这个数放到合适的位置就好了。你可以使用插入排序的思想，把这个数插入合适的位置，这样只需要O(n)的时间复杂度就能把序列再次变成有序的，总的时间复杂度为O(5000n)。