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乘方（pow）

版权信息： CCF-CSP-J2022

任务总览

任务名称	时间限制	内存限制	分数
计算 a^b	1 sec	256 MB	100 points

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题目描述

小文同学遇到了这样一个题：给定正整数 a 和 b，求 a^b 的值。

• a^b 表示 ​b 个 a 相乘的结果​。
• 例如 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8。

但是 ​**当计算结果超过 10^9 时，输出 -1**​，否则输出 a^b 的值。

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输入格式

输入共 ​一行​，包含两个正整数 a, b。

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输出格式

输出 ​一行​，如果 a^b 的值不超过 10^9，则输出该值，否则输出 -1。

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样例

输入 #1

10 9

输出 #1

1000000000

输入 #2

23333 66666

输出 #2

-1

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数据范围

• 对于 10% 的数据，保证 b = 1。
• 对于 30% 的数据，保证 b ≤ 2。
• 对于 60% 的数据，保证 b ≤ 30，且 a^b ≤ 10^18。
• 对于 100% 的数据，保证 1 ≤ a, b ≤ 10^9。

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题目分析

1. 指数计算的溢出

• 由于 a, b​最大可以达到 10^9​，直接计算 a^b 可能会​爆掉​。
• 因此不能使用 int 类型存储。

2. 计算优化

• 快速幂（Binary Exponentiation）
  • a^b = (a^(b/2)) × (a^(b/2))，利用递归或者位运算减少计算量。
  • ​**时间复杂度 O(log b)**​，比直接循环乘法 O(b) 更快。
• 模拟乘法，提前终止
  • 逐步累乘a，如果 ​**中间结果超过 10^9**​，就直接输出 -1 并结束。

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时间复杂度分析

• ​暴力法​（直接循环 b 次）最坏情况 ​O(b) = O(10^9)​，​不可行​！
• ​快速幂法​（Binary Exponentiation） ​O(log b)​，最坏情况 ​log(10^9) ≈ 30​，​可行​！
• ​模拟乘法​（逐步累乘） ​O(b)​，但 ​一旦超过 10^9 就终止​，最多执行 ​10 次​（对于 a = 10, b = 9 的情况），可行！