#P385. Insect Reproduction / 昆虫繁殖

Insect Reproduction / 昆虫繁殖

Problem : Insect Reproduction / 昆虫繁殖

版权信息: 本题考察递归与动态规划的应用,通过模拟昆虫的繁殖过程来求解成虫的总数。


任务总览

任务名称 时间限制 内存限制 分数
昆虫繁殖 1 sec 1024 MB 10 points

题目描述

科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫,这种昆虫的繁殖能力很强。每对成虫过 x 个月产 y 对卵,每对卵要过两个月长成成虫。假设每个成虫不死,第一个月只有一对成虫,且卵长成成虫后的第一个月不产卵 (过 x 个月产卵),问过 z 个月以后共有成虫多少对?

输入格式

输入三个整数 x, y, z,分别表示每对成虫产卵的周期(月),每对成虫每次产卵的数量,以及经过的总月份。

输入范围

  • 1 ≤ x ≤ 20
  • 1 ≤ y ≤ 20
  • x < z ≤ 50

输出格式

输出一个整数,表示经过 z 个月以后,成虫的总对数。


输入输出示例

输入示例 1

1 2 8

输出示例 1

37

解释:

  • 初始时只有1对成虫。
  • 第1个月:1对成虫。
  • 第2个月:1对成虫和2对卵。
  • 第3个月:1对成虫,2对卵,且2对卵长成2对成虫。
  • 第4个月:1对成虫,2对卵,2对成虫,每对成虫都产2对卵。
  • 继续按照此规则直到第8个月,最终成虫对数为37。

解题思路

本题可以通过动态规划或模拟来解决。考虑到每个月的成虫数量取决于之前的成虫数量和卵的生长周期,我们可以定义一个数组来记录每个月成虫的数量。

  • 状态定义​:dp[i] 表示第 i 个月时的成虫对数。
  • 初始条件:第1个月只有1对成虫,即 dp[1] = 1
  • 从第2个月开始,根据之前的成虫数量计算新一月的成虫数量。
    • 每对成虫每隔 x 个月会产 y 对卵,每对卵两个月后变成成虫。
  • 通过循环模拟每个月的变化,最终得到第 z 个月的成虫对数。

时间复杂度分析

步骤 复杂度
模拟每个月的繁殖过程 O(z)
总复杂度 O(z)

本题的时间复杂度是O(z),由于z的最大值为50,计算量非常小,因此可以在规定时间内完成。


结论

本题通过模拟昆虫的繁殖过程,使用动态规划或递归的方法,成功求解出经过 z 个月后的成虫总对数。