#P464. 取余运算

取余运算

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来源​: 自定义题目 ​题目名称​: 取余运算


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任务名称 时间限制 内存限制 分数
取余运算 1 sec 256 MB 10 points

题目描述

输入 ​b​,​p​,k 的值,求 b^p mod k 的值。其中 ​b​,​p​,k × k 为长整型数。


输入格式

输入 ​b​, ​p​, k 的值。


输出格式

输出 b^p mod k 的值。


样例输入

2 10 9

样例输出

2^10 mod 9=7

提示

  • 对于非常大的 ​p​,直接计算 b^p 会导致整数溢出,因此可以利用 模幂算法 来高效计算 ​b^p mod k​。
  • 使用 快速幂算法 计算可以大大减少计算复杂度,避免暴力计算时的性能问题。

题目分析

目标

  • 给定 ​b​,p 和 ​k​,计算 ​b^p mod k​,即 b^pk 取余的结果。

思路

  1. 直接求解问题​:如果 p 较小,可以直接通过循环计算 ​b^p​,然后再对 k 取余。
  2. 快速幂算法​:如果 p 较大,直接计算 b^p 会超时或导致溢出,使用 快速幂算法 计算会更高效。

快速幂算法

  • 快速幂 是一种分治法,可以将指数 p 分解为更小的指数,从而降低计算复杂度。
  • 通过递归或迭代的方式实现快速幂,时间复杂度为 ​**O(log p)**​。

时间复杂度分析

  • 通过快速幂算法,时间复杂度为 ​**O(log p)**​,其中 p 是指数。因此,即使 p 非常大,算法也能在合理的时间内完成计算。

结论

通过使用快速幂算法,我们能够在 O(log p) 的时间复杂度内高效计算 ​b^p mod k​,解决了大指数下计算的性能问题。