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​来源​: 自定义题目 ​题目名称​: 光荣的梦想

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题目描述

Prince 对他在这片大陆上维护的秩序感到满意，于是决定启程离开艾泽拉斯。在他动身之前，Prince 决定赋予 King_Bette 最强大的能量以守护世界、保卫这里的平衡与和谐。在那个时代，平衡是个梦想。因为有很多奇异的物种拥有各种不稳定的能量，平衡瞬间即被打破。KB 决定求助于你，帮助他完成这个梦想。

一串数列即表示一个世界的状态。 平衡是指这串数列以升序排列。而从一串无序数列到有序数列需要通过交换数列中的元素来实现。KB 的能量只能交换相邻两个数字。他想知道他最少需要交换几次就能使数列有序。

输入格式

第一行为数列中数的个数 ​n​，第二行为 n 个整数，表示当前数列的状态。

输出格式

输出一个整数，表示最少需要交换几次能达到平衡状态。

样例输入

4
2 1 4 3

样例输出

2

提示

• ​数据范围​：
  • ​n ≤ 10000​，表示数列中最多有 10000 个数。
• ​排序算法​：
  • 只能通过交换相邻元素来使数列变为升序。你需要计算出通过相邻元素交换的最少次数。

题目分析

目标

• 计算通过最少的相邻元素交换次数，将一个无序数列变为升序数列。

思路

1. ​数列的排序​：通过交换相邻的元素，我们可以将数列逐渐排成升序。
2. ​计算交换次数​：实际上，这个问题就是求数列的 逆序对 的数量。逆序对指的是两个数字的顺序不对，符合条件的逆序对需要通过交换才能变成升序。
3. ​求逆序对数目​：我们可以通过 归并排序 或者 冒泡排序 来计算逆序对的数量，从而得到最少的交换次数。

解法

• ​归并排序​：在归并排序过程中，我们可以统计逆序对的数量，因为归并排序是在排序的同时完成的，通过修改归并过程可以轻松地统计逆序对数量。
• ​冒泡排序​：在冒泡排序的过程中，每次交换就代表一个逆序对的消除。我们可以在冒泡排序时直接计数交换次数。

时间复杂度分析

• 通过归并排序计算逆序对的时间复杂度为 ​**O(n log n)**​，这是最优解法。
• 如果使用冒泡排序，最坏情况的时间复杂度为 ​**O(n^2)**​，对于大规模数据会超时。

结论

通过使用 归并排序 或 冒泡排序 来计算逆序对的数量，可以高效地得到最少交换次数，解决问题。