题目描述

小伟突然获得一种超能力，他知道未来 $T$ 天 $N$ 种纪念品每天的价格。某个纪念品的价格是指购买一个该纪念品所需的金币数量，以及卖出一个该纪念品换回的金币数量。

每天，小伟可以进行以下两种交易无限次：

1. 任选一个纪念品，若手上有足够金币，以当日价格购买该纪念品；
2. 卖出持有的任意一个纪念品，以当日价格换回金币。

每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品，当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币。当然，一直持有纪念品也是可以的。

$T$ 天之后，小伟的超能力消失。因此他一定会在第 $T$ 天卖出所有纪念品换回金币。

小伟现在有 $M$ 枚金币，他想要在超能力消失后拥有尽可能多的金币。

输入格式

第一行包含三个正整数 $T$, $N$, $M$，相邻两数之间以一个空格分开，分别代表未来天数 $T$，纪念品数量 $N$，小伟现在拥有的金币数量 $M$。

接下来 $T$ 行，每行包含 $N$ 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔。第 $i$ 行的 $N$ 个正整数分别为 $P_{i,1}$,$P_{i,2}$ , ...... , $P_{i,N}$, 其中 $P_{i,j}$ 表示第 $i$ 天第 $j$ 种纪念品的价格。

输出格式

输出仅一行，包含一个正整数，表示小伟在超能力消失后最多能拥有的金币数量。

6 1 100
50
20
25
20
25
50

305

最佳策略是：

第二天花光所有 $100$ 枚金币买入 $5$ 个纪念品 $1$； 第三天卖出 $5$ 个纪念品 $1$，获得金币 $125$ 枚； 第四天买入 $6$ 个纪念品 $1$，剩余 $5$ 枚金币； 第六天必须卖出所有纪念品换回 $300$ 枚金币，第四天剩余 $5$ 枚金币，共 $305$ 枚金币。

超能力消失后，小伟最多拥有 $305$ 枚金币。

3 3 100
10 20 15
15 17 13
15 25 16

217

最佳策略是：

第一天花光所有金币买入 $10$ 个纪念品 $1$； 第二天卖出全部纪念品 $1$ 得到 $150$ 枚金币并买入 $8$ 个纪念品 $2$ 和 $1$ 个纪念品 $3$，剩余 $1$ 枚金币； 第三天必须卖出所有纪念品换回 $216$ 枚金币，第二天剩余 $1$ 枚金币，共 $217$ 枚金币。

超能力消失后，小伟最多拥有 $217$ 枚金币。

数据范围与提示

对于 $10\%$ 的数据，$T = 1$。 对于 $30\%$ 的数据，$T \le 4, N \le 4, M \le 100$，所有价格 $10 \le P_{i,j} \le 1001$ 。 另有 $15\%$ 的数据，$T \le 100, N = 1$。 另有 $15\%$ 的数据，$T = 2,N \le 100$。 对于 $100\%$ 的数据，$T \le 100, N \le 100, M \le 10^3$，所有价格 $1 \le P_{i,j} \le 10^4$，数据保证任意时刻，小明手上的金币数不可能超过 $10^4$。

分析

【分析】

这道题已知N件物品未来T天的价格，需要通过交易来让手中的M枚金币尽可能变多，并且交易不限次数且没有手续费。

首先看数据范围：

对于T=1的10分，因为只有一天，所以每件物品只有一个价格，无论进行多少次买卖，钱都不会变多。因此T=1时直接输出M即可。

对于N=1的15分，只有一件商品，那么只要明天比今天贵，今天应该能买多少就买多少。因为明天可以先直接全部卖掉，这样就实现了赚钱最大化，然后再考虑明天是否重新买回。

由N=1的情况进一步总结得出，对于每一天的每件物品，就是使用当天的价格赚取今明两天的差价。这实际上是一个完全背包问题的模型，每天都是一轮完全背包问题。每一天手中的金币为背包总体积，每件物品的体积就是物品当天的价格，每件物品的价值就是当天与次日的价格差，这样做一次完全背包就能计算出来每天最多能赚多少钱。程序的时间复杂度是O(NMT)。